Les suites numériques, suite arithmétique et suite géométrique.
Les suites numériques, suite arithmétique et suite géométrique, définitions, propriétés, fiches sur les suites.
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Définition et modes de génération d'une suite numérique.
Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble N des entiers naturels. Pour générer une suite numérique on rencontre deux types principaux :
- Suite numérique définie par l'expression du terme général un en fonction de n.
Exemple : un= 3n +10 ce qui donne comme termes de la suite numérique pour n=0 u0= 3x0 +10 =10, pour n=1 u1= 3x1 +10 = 13, u2= 3x2 +10 =16 et ainsi de suite.
- Suite numérique par une relation de récurrence.
Exemple : u(n+1) = 2u(n) +5 avec le premier terme connu u0 =10, ce qui donne u1=2u0 +5 =2x10+5=25, u2=2xu1 +5 = 2x25 +5 =55 et ainsi de suite.
Suite algébrique.
Pour une suite arithmétique, chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison de la suite arithmétique.
Ce qui se traduit par : pour tout entier naturel n : un+1 = un+ r avec u0 fixé.
Exemple un+1 = un+ 3 et u0 =5 , donc u1 =u0 +3 =5+3 =8, u2= u1 +3 =8+3 =11 ....
Pour faciliter les calculs on démontre que un=u0+nr dans notre exemple si je vous demande de calculer u100
On a u100= u0 + 100r ici r= 3 raison de la suite arithmétique, u100= 5 +100x3 =305.
Dans la fiche ci dessous on s'interesse aussi à la somme des termes d'une suite arithmétique,
par exemple si je vous demande combien vaut S= u0 + u1 +u2 +u3 +... +u10
le premier terme de la suite arithmétique est u0 =5 le dernier terme de la suite arithmétique est u10 = u0 +10x3 =5 + 30 = 35
le nombre de terme de la suite arithmétique est 11 (de u0 à u10 il y a 11 termes)
ce qui donne S = ((1er terme + dernier terme)xnb de termes)/2 = ((5+35)x11)/2 =220
Suite géométrique.
Pour faciliter les calculs on démontre que un=u0xq(puissance n) dans notre exemple si je vous demande de calculer u10
On a u10= u0xq(puissance n) ici q= 4 raison de la suite géométrique, u10= 3x4(puissance10) =3145728.
Dans la fiche ci dessous on s'interesse aussi à la somme des termes d'une suite géométrique
par exemple si je vous demande combien vaut S= u0 + u1 +u2 +u3 + u4 + u5
le premier terme de la suite géométrique est u0 =3 le dernier terme de la suite géométrique est u5 = u0x(4puissance5) =3x1024 = 3072
ce qui donne S = (1er terme - (dernier terme)xraison)/(1 -raison) = (3 -3072x4)/(1-4)=4095
Exercices sur les suites numériques en 1S.
Exercice 1. Suites numériques premières notions.
Solution :
a) u0 =5 u1 =7 u2= 15
b) u10= 300 -10 +5 = 295
c) u(n+1)=3(n+1)²-(n+1)+5 =3n² +5n +7
d) u(n-1)=3(n-1)²-(n-1)+5 =3n² -7n + 9
Exercice 2. Suites numériques premières notions.
Solution :
a) un= 2n
b) un= n² (le carré de n)
c) un = racine(3n+5)
Exercice 3. Suites numériques premières notions.
Solution :
a) 3, 2, -1, -6
b) 1/3, 1, 3, 9
c) 1, -3, 9, -27
Test auto corrigé sur les suites numériques en premières S, en particulier sur les suites arithmétiques et sur les suites géométriques. Evaluez votre niveau et vos connaissances sur les suites arithmétiques et sur les suites géométriques, cours 1S. Test suite arithmétiques, suites géométriques, première S.
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