Mathématiques en lycée, la valeur absolue.
La valeur absolue, définition et propriétés de la fonction valeur absolue.
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Définition de la valeur absolue
Déf : Soit X un nombre réel. On appelle valeur absolue de X, notée | X |, le nombre positif ou nul tel que :
| X | = X si X ≥ 0 ou | X | = − X si X ≤ 0
Exemples : |120| = 120 |-5| = 5 |0| =0
Propriétés : Pour tout x réel, on a : | x | ≥ 0 | x | = | −x | = | x |
Propriétés de la valeur absolue
La valeur absolue d'un produit, c'est le produit des valeurs absolues |X.Y|=|X|.|Y|
La valeur absolue d'un quotient, c'est le quotient des valeurs absolues |X/Y|=|X|/|Y| avec Y non nul.
Mais attention la valeur absolue d'une somme n'est en général pas égale à la somme des valeurs absolues |X+Y| différent de |X|+|Y|
Représentation graphique de la valeur absolue
La valeur absolue est donc une fonction décroissante sur l'ensemble des réels négatifs et croissante sur l'ensemble des réels positifs
Distance de deux réels et valeur absolue
On note d(a;b) la distance entre deux réels a et b, et par définition on a :
d(a;b)= d(b;a)=|b-a| =|a-b|, c'est donc la valeur absolue de la différence.
par exemple la distance de -4 à +7 est égale à la valeur absolue de la différence des deux nombres
soit d(-4;7)= |7-(-4)|= 11
Exercices corrigés sur la valeur absolue
a) Deux valeurs absolues sont égales si et seulement si leurs intérieurs sont égaux ou opposés.
On a donc 2x-1 = x+1 ou 2x-1 = -x -1, ce qui donne en résolvant ces 2 équations x=2 ou x=0.
b) On isole la valeur absolue, on obtient valeur absolue de 8-x =4, si sa valeur absolue est 4, cela veut dire que ce nombre est soit 4, soit -4.
On a donc 8-x = 4 ou 8-x = -4, ce qui donne en résolvant ces 2 équations x=4 ou x=12.
c) La valeur absolue d'un nombre est plus grand que 4, si et seulement si ce nombre est plus grand que 4, ou inférieur à -4.
On doit résoudre x+3>4 ou x+3<-4, ce qui donne comme solutions x>1 ou x <-7.
