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Programme de mathématiques classe de
cinquième :- INTRODUCTION
Les objectifs généraux et l'organisation de l'enseignement des mathématiques
décrits pour le programme de 6e demeurent pour le cycle central du collège.
La démarche suivie dans l'enseignement des mathématiques renforce la
formation intellectuelle des élèves et concourt à celle de citoyen, en
développant leur aptitude à chercher, leur capacité à critiquer, justifier ou
infirmer une affirmation, en les habituant à s'exprimer clairement aussi bien à
l'oral qu'à l'écrit.
L'élargissement des domaines étudiés et l'enrichissement des outils acquis au
fur et à mesure, alliés à une plus grande maturité des élèves, permettent de les
initier davantage à l'activité mathématique. À ce propos, les études
expérimentales (calculs numériques, avec ou sans calculatrices, mesures,
représentations à l'aide d'instruments de dessin, etc.) permettent d'émettre des
conjectures et donnent du sens aux définitions et aux théorèmes. Elles ont donc
toute leur place dans la formation scientifique des élèves. On veillera
toutefois à ce que les élèves ne les confondent avec des démonstrations : par
exemple, pour tout résultat mathématique énoncé, on précisera explicitement
qu'il est admis lorsqu'il n'a pas été démontré.
On privilégiera l'activité de l'élève, sans négliger les temps de synthèse
qui rythment les acquisitions communes. Elle seule permet, par exemple,
l’appropriation du raisonnement ; il s’agit, en poursuivant l’initiation très
progressive au raisonnement déductif commencée en 6e, de passer de l’utilisation
consciente d’une propriété mathématique au cours de l’étude d’une situation à
l’élaboration complète d’une démarche déductive dans des cas simples. Les
activités de formation, distinctes des travaux d'évaluation portant sur les
compétences exigibles, seront aussi riches et diversifiées que possible. Elles
seront aussi l'occasion de mobiliser et de consolider les acquis antérieurs dans
une perspective élargie.
Le programme du cycle central du collège a pour objectif de permettre :
• en géométrie, la connaissance de propriétés et de relations métriques
relatives à des configurations de base (triangles, parallélogrammes), l'approche
de transformations du plan (symétrie centrale, translation), la familiarisation
avec les représentations de figures de l'espace, l'apprentissage progressif de
la démonstration ;
• dans le domaine numérique, la maîtrise des calculs sur les nombres décimaux
relatifs et les nombres en écriture fractionnaire, une initiation au calcul
littéral (priorités opératoires, développement), à la résolution d'une équation
;
• en " organisation et gestion de données "
l'acquisition de quelques outils statistiques utiles dans d'autres disciplines
et dans la vie de tout citoyen. Dans ces trois domaines d'études, la
proportionnalité apparaît comme un fil conducteur : afin de favoriser sa
maîtrise, le programme propose de nombreuses situations géométriques, numériques
ou graphiques.
La rédaction de ce programme tend à :
• bien équilibrer les apprentissages sur les deux
années,
• en souligner la continuité et la cohérence,
• dégager clairement les points forts de chaque année.
Il a été tenu compte, dans l'élaboration et la rédaction de ce programme, des
informations recueillies lors de diverses évaluations des acquis mathématiques
des élèves de 5e et de 4e.
Le vocabulaire et les notations seront introduits, comme en sixième, au fur
et à mesure de leur utilité : la notation cos, les symboles ³, £, », et les
notations an et a-n ; il y aura également lieu de
familiariser les élèves avec le décodage de calculs utilisant pour la division
les symboles ¸ et /.
Le travail personnel des élèves en classe, en étude ou à la maison est
essentiel à leur formation. Les devoirs de contrôle sont d’abord destinés à
vérifier les compétences exigibles. Les autres travaux peuvent avoir des
objectifs beaucoup plus larges et prendre des formes très diverses. En
particulier, les travaux individuels de rédaction concourent efficacement à la
maîtrise de la langue, à la mémorisation des savoirs et savoir-faire et au
développement des capacités de raisonnement. La régularité d’un travail
extérieur à la classe est importante pour les apprentissages. En outre, la
correction individuelle du travail d’un élève est une façon de reconnaître la
qualité de ce travail et de permettre à son auteur de l’améliorer, donc de
progresser
II - ACTIVITES NUMERIQUES
Comme en 6e, la résolution de problèmes constitue l'objectif fondamental de
cette partie du programme. Ces problèmes, en associant à une situation donnée
une activité numérique, renforcent le sens des opérations et des écritures
numériques et littérales figurant au programme et développent les qualités
d'organisation et de gestion de données numériques. Il convient donc de ne pas
multiplier les activités de technique pure.
L'initiation aux écritures littérales se poursuit, mais le calcul littéral ne
figure pas au programme. Les travaux numériques prennent appui sur la pratique
du calcul exact ou approché, sous différentes formes souvent complémentaires :
le calcul mental, le calcul à la main (dans le cas de nombres courants et
d'opérations techniquement simples), l'emploi d'une calculatrice.
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CONTENUS |
COMPÉTENCES EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Enchaînement d'opérations sur les nombres
entiers et décimaux positifs
Conventions de priorités entre opérations.
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Organiser, pour l'effectuer mentalement,
avec papier-crayon ou à la calculatrice, une
succession d'opérations au vu d'une écriture donnée, de la forme a + bc,
, a / (b / c)... uniquement sur des exemples où a, b, et c sont
numériquement fixés.
Écrire une expression correspondant à une
succession donnée d'opérations. |
L'acquisition des priorités opératoires est
le préalable à plusieurs apprentissages : compréhension et mise en
pratique de règles. Le fait que les calculatrices n'aient pas toutes les
mêmes principes de fonctionnement est une occasion à saisir. En effet,
l'activité consistant à répertorier leurs diverses modalités de
fonctionnement, et à les mettre en œuvre, est hautement formatrice. On
n'oubliera pas de penser, pour éviter d'introduire plusieurs fois un même
nombre, à recourir à une mémoire de la machine.
Pour la lecture et l'écriture d'expressions,
on pourra utiliser le vocabulaire : terme d'une somme, facteur d'un
produit.
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Distributivité de la multiplication par
rapport à l'addition. |
Connaître et utiliser les identités
k(a
+ b) = ka + kb
et k(a
-
b) = ka -
kb
dans les deux sens. |
La distributivité est à connaître sous forme
générale d'identité. La comparaison avec une formulation en français - "
le produit d'un nombre par la somme de deux nombres est égal à la somme
des produits du premier par chacun des deux autres "... - pourra être
l'occasion de montrer un intérêt (en économie et précision) de l'écriture
symbolique. On entraînera les élèves à la convention usuelle d’écriture
bc pour b
´
c, 3a pour 3 ´
a. Les applications donnent lieu à deux types d'activités bien
distinctes : le développement qui correspond au sens de lecture de
l'identité indiquée, et la factorisation qui correspond à la lecture "
inverse " ka + kb = k(a
+ b). Cette réversibilité se retrouve dans l'initiation à la résolution
d'équations.
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2. Nombres en écriture fractionnaire
Multiplication. |
Effectuer le produit de deux nombres écrits
sous forme fractionnaire ou décimale, le cas d'entiers étant inclus.
exemples :
Ramener une division dont le diviseur est
décimal à une division dont le diviseur est entier. |
Toutes les activités numériques fourniront
des occasions de pratiquer le calcul mental et d’utiliser une
calculatrice. Plusieurs objectifs sont visés, en particulier développer la
capacité à :
- prévoir des ordres de grandeur,
- opérer en conservant l’écriture
fractionnaire,
- utiliser le vocabulaire approprié (terme,
facteur, numérateur, dénominateur),
- contrôler des résultats par des calculs
mentaux approchés.
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Comparaison, addition et soustraction, les
dénominateurs étant égaux ou multiples. |
Comparer, additionner et soustraire deux
nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont
les mêmes et dans le cas où le dénominateur de l'un est un multiple du
dénominateur de l'autre |
La classe de 5e s'inscrit, pour le calcul
avec des écritures fractionnaires, dans un processus prévu sur toute la
durée du collège. En 6e, le produit et la somme de fractions n'ont été
envisagés qu'à propos de nombres décimaux. La simplification y a été
abordée et pourra donc être utilisée en 5e ; ce sera l’occasion d’obtenir
des fractions irréductibles mais aucune compétence n’est exigible à ce
sujet. La systématisation de la réduction au même dénominateur est traitée
en quatrième.
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3. Nombres relatifs en écriture décimale |
Ranger, soit dans l'ordre croissant, soit
dans l'ordre décroissant, des nombres relatifs courants en écriture
décimale.
Effectuer la somme de deux nombres relatifs
dans les différents cas de signes qui peuvent se présenter.
Transformer une soustraction en une
addition, comme dans l'exemple :
-
3,7 -
(-
4,3) = -
3,7 + 4,3 = 0,6.
Calculer, sur des exemples numériques, une
expression où interviennent uniquement les signes +,
-
et éventuellement des parenthèses.
Sur des exemples numériques, écrire en
utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul portant sur
des sommes ou des différences de nombres relatifs.
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Les activités partiront de l'expérience
acquise en 6e et pourront s'appuyer sur des interprétations graphiques.
Elles mettront en place les techniques opératoires concernant l'addition
et la soustraction ; on entraînera les élèves à organiser et gérer un
programme de calcul mettant en jeu des additions et des soustractions avec
ou sans calculatrice. A cette occasion, on observera que soustraire un
nombre, c’est ajouter son opposé. |
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4. Initiation à la résolution d'équations |
Trouver, dans des situations numériques
simples, le nombre par lequel diviser un nombre donné pour obtenir un
résultat donné.
Tester si une égalité comportant un ou deux
nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue des valeurs
numériques données. |
Le travail sur cette compétence étend au cas
de la division l’initiation à la résolution d’équations, entreprise en 6e.
Désigner par une lettre le nombre inconnu peut ici se révéler pertinent.
Les programmes prévoient une initiation très
progressive à la résolution d'équations, de manière à éviter l'écueil
connu d'apprentissages aboutissant à la mise en œuvre d'algorithmes
dépourvus de véritable sens. La classe de cinquième correspond à une étape
importante dans l'acquisition du sens, avec la présentation d'égalités
vues comme des assertions dont la vérité est à examiner. Par exemple, dans
l’étude d’une situation conduisant à une égalité telle que 3y = 4x + 2, on
sera amené à en tester la véracité pour diverses valeurs de x et y.
Les expressions qui figurent de part et
d'autre du signe d'égalité jouent ici le même rôle. On travaillera aussi
avec des inégalités dans des cas simples, sans pour autant que cette
activité donne lieu à des compétences exigibles. |
III -
ACTIVITES GEOMETRIQUES
En classe de 6e, les élèves ont été progressivement habitués à s'exprimer
d'une manière précise pour décrire des figures et mettre en œuvre de courtes
séquences déductives.
En classe de 5e, l'étude des figures planes se poursuit. Un nouvel outil, la
symétrie centrale, permet d'enrichir et de réorganiser les connaissances sur les
figures, dont certaines propriétés pourront être démontrées ; le parallélogramme
est une figure fondamentale du programme. Dans l'espace, les études
expérimentales s'amplifient ; elles fournissent un terrain pour dégager quelques
propriétés élémentaires du parallélisme et de l'orthogonalité.
Les travaux de géométrie plane prennent toujours appui sur des figures,
dessinées suivant les cas à main levée ou à l'aide des instruments de dessin et
de mesure, y compris dans un environnement informatique. Ils sont conduits en
liaison étroite avec l'étude des autres rubriques ; ils constituent, en
particulier, le support d'activités numériques conjointes (grandeurs et
mesures). Les diverses activités de géométrie habitueront les élèves à
expérimenter et à conjecturer, et permettront progressivement de s'entraîner à
des justifications au moyen de courtes séquences déductives mettant en œuvre les
outils du programme et ceux déjà acquis en sixième, notamment la symétrie
axiale. Il importe de faire peu à peu percevoir aux élèves ce qu'est l'activité
mathématique, tout en veillant à ne pas leur demander de prouver des propriétés
perçues comme évidentes.
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CONTENUS |
COMPÉTENCES EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Prismes droits,
cylindres de révolution. |
Fabriquer un prisme droit dont la base est
un triangle, ou un parallélogramme, de dimensions données.
Fabriquer un cylindre de révolution dont la
base est un cercle de rayon donné.
Représenter à main levée ces deux solides.
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Comme en 6e, l'objectif est d'entretenir et
d'approfondir les acquis : représenter, décrire et construire des solides
de l'espace, en particulier à l'aide de patrons. Passer de l'objet à ses
représentations constitue encore l'essentiel du travail, lequel pourra
être fait en liaison avec l'enseignement de la technologie.
L'usage d'outils informatiques (logiciels de
géométrie dans l'espace) peut se révéler utile pour une meilleure
visualisation des différentes représentations d'un objet.
Ces travaux permettront de consolider les
images mentales déjà mises en place, relatives à des situations de
parallélisme et d'orthogonalité.
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Calculer le volume d'un prisme droit ;
calculer son aire latérale à partir du périmètre de sa base et de sa
hauteur.
Calculer le volume et l'aire latérale d'un
cylindre de révolution.
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Le parallélépipède rectangle, déjà rencontré
en sixième, est un cas particulier de prisme droit. La formule de son
volume est à présent une connaissance exigible. |
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2. Dans le plan, transformation de figures
par symétrie centrale ; parallélogramme |
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Dans un premier temps, l'effort portera sur
un travail expérimental (pliage pour la symétrie axiale et papier calque
pour le demi-tour), permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures
simples. Les propriétés conservées par symétrie centrale seront ainsi
progressivement dégagées, en comparant avec la symétrie axiale.
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Construction d'images et mise en évidence de
conservations. |
Construire le symétrique d'un point, d'un
segment, d'une droite, d'une demi-droite, d'un cercle. |
La symétrie centrale n'a, à aucun moment, à
être présentée comme application du plan dans lui-même. Suivant les cas,
on mettra en évidence :
- l'action sur une figure d'une symétrie
centrale donnée,
- la présence d'un centre de symétrie dans
une figure (exemples : cercle, rectangle, carré, losange), c'est à dire
l'existence d'une symétrie centrale la conservant.
Ces travaux conduiront à :
- la construction de l'image d'un point,
d'une figure simple,
- la mise en évidence de la conservation des
distances, de l'alignement, des angles et des aires, et l'étude d'exemples
d'utilisation de ces propriétés,
- l'énoncé et l'utilisation de propriétés
caractéristiques du parallélogramme (on veillera à toujours formuler ces
propriétés à l'aide d'énoncés séparés),
- la caractérisation angulaire du
parallélisme.
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Parallélogramme. |
Connaître et utiliser une définition du
parallélogramme et des propriétés relatives aux côtés, aux diagonales et
aux angles.
Relier les propriétés du parallélogramme à
celles de la symétrie centrale.
Calculer l'aire d'un parallélogramme.
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Le travail entrepris sur le parallélogramme
et la symétrie centrale aboutit ainsi à des énoncés précis que les élèves
doivent connaître. Des séquences déductives pourront s’appuyer sur ces
énoncés.
L'aire du parallélogramme pourra être reliée
à celle du rectangle. |
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Caractérisation angulaire du parallélisme. |
Connaître et utiliser les propriétés
relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante.
Connaître et utiliser les expressions :
angles adjacents, angles complémentaires, angles supplémentaires.
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On pourra utiliser également le vocabulaire
suivant : angles opposés par le sommet,
alternes-internes, correspondants. |
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Figures simples ayant un centre de symétrie
ou des axes de symétrie. |
Reproduire, sur papier quadrillé ou pointé
et sur papier blanc, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas
particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses
propriétés.
Connaître et utiliser une définition et des
propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie)
du carré, du rectangle, du losange.
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Les problèmes de construction consolideront
les connaissances relatives aux quadrilatères usuels. Ils permettront de
mettre en œuvre droites et cercles et de revenir sur la symétrie axiale et
les axes de symétrie.
On poursuit le travail sur la
caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l'aide
d'énoncés séparés. |
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3. Triangle
Somme des angles d'un triangle. |
Utiliser, dans une situation donnée, la
somme des angles d'un triangle. Savoir l'appliquer aux cas particuliers du
triangle équilatéral, d'un triangle rectangle, d'un triangle isocèle. |
La symétrie centrale ou la caractérisation
angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la
somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés. Exemple
d'utilisation : trouver quels triangles isocèles ont un angle de 80
degrés.
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Construction de triangles et inégalité
triangulaire. |
Construire un triangle connaissant :
- la longueur d'un côté et les deux angles
qui lui sont adjacents,
- les longueurs de deux côtés et l'angle
compris entre ces deux côtés,
- les longueurs des trois côtés.
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On remarquera, dans chaque cas où la
construction est possible, que lorsqu'un côté est placé, on peut
construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce
côté, à sa médiatrice ou à son milieu.
On rencontrera à ce propos l'inégalité
triangulaire, AB + BC
³
AC dont l'énoncé sera admis. Le cas de l'égalité AB + BC = AC sera
commenté et illustré.
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Aire d'un triangle. |
Calculer l'aire d'un triangle connaissant un
côté et la hauteur associée.
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On pourra relier l'aire du triangle à celle
du parallélogramme. |
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4. Cercle
Cercle circonscrit à un triangle.
Aire du disque. |
Construire le cercle circonscrit à un
triangle.
Calculer l'aire d'un disque de rayon donné.
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La caractérisation de la médiatrice d'un
segment à l'aide de l'équidistance a déjà été rencontrée en 6e. Elle
permet de démontrer que les trois médiatrices d'un triangle sont
concourantes et justifie la construction du cercle circonscrit à un
triangle. |
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