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Programme de mathématiques classe de
quatrième :- INTRODUCTION
Les objectifs généraux et l'organisation de l'enseignement des mathématiques
décrits pour le programme de 6e demeurent pour le cycle central du collège.
La démarche suivie dans l'enseignement des mathématiques renforce la
formation intellectuelle des élèves et concourt à celle de citoyen, en
développant leur aptitude à chercher, leur capacité à critiquer, justifier ou
infirmer une affirmation, en les habituant à s'exprimer clairement aussi bien à
l'oral qu'à l'écrit.
L'élargissement des domaines étudiés et l'enrichissement des outils acquis au
fur et à mesure, alliés à une plus grande maturité des élèves, permettent de les
initier davantage à l'activité mathématique. À ce propos, les études
expérimentales (calculs numériques, avec ou sans calculatrices, mesures,
représentations à l'aide d'instruments de dessin, etc.) permettent d'émettre des
conjectures et donnent du sens aux définitions et aux théorèmes. Elles ont donc
toute leur place dans la formation scientifique des élèves. On veillera
toutefois à ce que les élèves ne les confondent avec des démonstrations : par
exemple, pour tout résultat mathématique énoncé, on précisera explicitement
qu'il est admis lorsqu'il n'a pas été démontré.
On privilégiera l'activité de l'élève, sans négliger les temps de synthèse
qui rythment les acquisitions communes. Elle seule permet, par exemple,
l’appropriation du raisonnement ; il s’agit, en poursuivant l’initiation très
progressive au raisonnement déductif commencée en 6e, de passer de l’utilisation
consciente d’une propriété mathématique au cours de l’étude d’une situation à
l’élaboration complète d’une démarche déductive dans des cas simples. Les
activités de formation, distinctes des travaux d'évaluation portant sur les
compétences exigibles, seront aussi riches et diversifiées que possible. Elles
seront aussi l'occasion de mobiliser et de consolider les acquis antérieurs dans
une perspective élargie.
Le programme du cycle central du collège a pour objectif de permettre :
• en géométrie, la connaissance de propriétés et de relations métriques
relatives à des configurations de base (triangles, parallélogrammes), l'approche
de transformations du plan (symétrie centrale, translation), la familiarisation
avec les représentations de figures de l'espace, l'apprentissage progressif de
la démonstration ;
• dans le domaine numérique, la maîtrise des calculs sur les nombres décimaux
relatifs et les nombres en écriture fractionnaire, une initiation au calcul
littéral (priorités opératoires, développement), à la résolution d'une équation
;
• en " organisation et gestion de données "
l'acquisition de quelques outils statistiques utiles dans d'autres disciplines
et dans la vie de tout citoyen. Dans ces trois domaines d'études, la
proportionnalité apparaît comme un fil conducteur : afin de favoriser sa
maîtrise, le programme propose de nombreuses situations géométriques, numériques
ou graphiques.
La rédaction de ce programme tend à :
• bien équilibrer les apprentissages sur les deux
années,
• en souligner la continuité et la cohérence,
• dégager clairement les points forts de chaque année.
Il a été tenu compte, dans l'élaboration et la rédaction de ce programme, des
informations recueillies lors de diverses évaluations des acquis mathématiques
des élèves de 5e et de 4e.
Le vocabulaire et les notations seront introduits, comme en sixième, au fur
et à mesure de leur utilité : la notation cos, les symboles ³, £, », et les
notations an et a-n ; il y aura également lieu de
familiariser les élèves avec le décodage de calculs utilisant pour la division
les symboles ¸ et /.
Le travail personnel des élèves en classe, en étude ou à la maison est
essentiel à leur formation. Les devoirs de contrôle sont d’abord destinés à
vérifier les compétences exigibles. Les autres travaux peuvent avoir des
objectifs beaucoup plus larges et prendre des formes très diverses. En
particulier, les travaux individuels de rédaction concourent efficacement à la
maîtrise de la langue, à la mémorisation des savoirs et savoir-faire et au
développement des capacités de raisonnement. La régularité d’un travail
extérieur à la classe est importante pour les apprentissages. En outre, la
correction individuelle du travail d’un élève est une façon de reconnaître la
qualité de ce travail et de permettre à son auteur de l’améliorer, donc de
progresser
II - ACTIVITES NUMERIQUES
La résolution de problèmes ( issus de la
géométrie, de la gestion de données, des autres disciplines, de la vie courante)
constitue l’objectif fondamental de cette partie du programme. Elle nourrit les
activités, tant dans le domaine numérique que dans le domaine littéral. Les
exercices de technique pure ne sont pas à privilégier.
La pratique du calcul exact ou approché sous différentes formes
complémentaires (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un
ordinateur) a pour objectifs :
• la maîtrise des règles opératoires de base,
• l’acquisition de savoir-faire dans la
comparaison des nombres,
• la réflexion et l’initiative dans le choix de
l’écriture appropriée d’un nombre selon la situation.
Le calcul littéral sera introduit avec prudence en veillant à ce que les
élèves puissent donner du sens aux activités entreprises dans ce cadre, en
particulier lors de l’utilisation de formules issues des sciences et de la
technologie.
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CONTENUS |
COMPÉTENCES EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Nombres et calcul numérique
Opérations (+,
-
,
´,
:) sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire (non
nécessairement simplifiée). |
Calculer le produit de nombres relatifs
simples dans les différents cas de signe qui peuvent se présenter. |
Toute étude théorique des propriétés des
opérations est exclue.
Les élèves ont la pratique de l’utilisation
de la multiplication des nombres positifs en écriture décimale ou
fractionnaire. En s’appuyant sur ces connaissances, les opérations seront
étendues au cas des nombres relatifs. Les justifications pourront être
limitées à l’observation de l’extension de tables de multiplication ou à
la généralisation de règles provenant de l’addition de nombres (par
exemple 3 ´
(-2)
= -2
-
2 -
2 = -6)
en admettant les résultats dans les autres cas.
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Savoir que a/b = a
´
1/b .
Déterminer une valeur approchée du quotient
de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs).
Utiliser sur des exemples numériques les
égalités :
où a, b, c et d sont des nombres décimaux
relatifs.
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Un travail sera conduit sur la notion
d’inverse d’un nombre non nul, les notations x-1
ou 1/x et l’usage de calculatrices avec la touche correspondante. À cette
occasion, on remarquera que diviser par un nombre non nul, c’est
multiplier par son inverse. |
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Calculer la somme de nombres relatifs en
écriture fractionnaire. |
L’addition de deux nombres relatifs en
écriture fractionnaire peut demander un travail sur la recherche de
multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers. La recherche du
plus petit commun multiple pour l’obtention d’un dénominateur commun et
celle du plus grand diviseur commun pour l’obtention de la forme
irréductible ne sont pas exigibles.
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Puissances d’exposant entier relatif. |
Utiliser sur des exemples numériques, avec
ou sans calculatrice scientifique, les égalités :
10m ´
10n = 10m+n
; 1/10n = 10-n;
(10m)n = 10mn
où m et n sont des entiers relatifs.
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En liaison avec la physique, les activités
insisteront sur l’usage des puissances de dix. Les calculatrices seront
largement utilisées. Les élèves doivent maîtriser l’usage des touches
correspondantes de leur calculatrice. |
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Notation scientifique des nombres décimaux.
Ordre de grandeur d’un résultat. |
Sur des exemples numériques, écrire un
nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances
de 10.
Utiliser la notation scientifique pour
obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur.
Utiliser sur des exemples numériques, pour
des exposants très simples des égalités telles que :
a2 ´ a3 = a5 ;
a2 / a5 = a-3;
(ab)2 = a2b2,
où a et b sont des nombres relatifs non
nuls.
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Modifier l’écriture d’un nombre comme
25 698,236 sous la forme 2,5698236 ´ 104
ou 25 698 236 ´ 10-2
ou 25,698236 ´ 103
est une activité que doivent pratiquer les élèves. La notation ingénieur
n’est pas exigible.
Cette rubrique ne doit pas donner lieu à des
calculs artificiels sur les puissances entières d’un nombre relatif. Pour
des nombres autres que 10, on s’en tiendra au cas d’exposants simples.
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Sur des exemples numériques, écrire en
utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant
sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. Organiser et effectuer
à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes.
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À la suite du travail commencé en 5e avec
des nombres décimaux positifs, les élèves seront entraînés aux mêmes types
de calculs avec des nombres relatifs. Ils seront ainsi progressivement
familiarisés à l’usage des priorités opératoires intervenant dans les
conventions usuelles d’écritures ainsi qu’à la gestion d’un programme de
calcul utilisant des parenthèses.
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Touche de la calculatrice. |
Trouver à l’aide de la calculatrice une
valeur approchée de la racine carrée d’un nombre positif. |
Le théorème de Pythagore fournit l’occasion
de calculer des racines carrées de nombres positifs dans des cas qui
relèvent d’une situation où le nombre calculé a
une signification que l’élève peut identifier. On peut aussi rattacher le
calcul d’une racine carrée à des problèmes où interviennent l’aire d’un
carré et la mesure de son côté.
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2. Calcul littéral |
Réduire une expression littérale à une
variable, du type :
3x - (
4x - 2),
2x2 - 3x + x2
… |
L’apprentissage du calcul littéral doit être
conduit très progressivement en recherchant des situations qui permettent
aux élèves de donner du sens à l’introduction de ce type de calcul.
Le travail proposé s’articule sur deux axes
:
- utilisation d’expressions littérales pour
des calculs numériques
- utilisation du calcul littéral dans la
mise en équation et la résolution de problèmes divers.
Les situations proposées aux élèves doivent
exclure tout type de virtuosité et répondre chaque fois à un objectif
précis (résolution d’une équation, gestion d’un calcul numérique). On
évitera en particulier les expressions à plusieurs variables introduites
a priori.
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Développement. |
Sur des exemples numériques ou littéraux,
développer une expression du type (a + b)(c + d).
Calculer la valeur d’une expression
littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. |
Les activités de développement poursuivent
celles de 5e en utilisant l’identité k(a + b) = ka + kb.
L’introduction progressive des lettres et des nombres relatifs s’intégrant
aux expressions algébriques représente une difficulté importante qui doit
être prise en compte. À cette occasion, le test d’une égalité par
substitution de valeurs numériques aux lettres prendra tout son intérêt.
Le développement de certaines expressions du
type (a + b)(c + d) peut conduire à des
simplifications d’écriture, mais les identités remarquables ne sont pas au
programme. L’objectif est d’apprendre aux élèves à développer pas à pas ce
type d’expression en une somme de termes.
La factorisation d’expressions analogues à
x (3x + 4) - 5(3x + 4)
n’est pas au programme.
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Effet de l’addition et de la multiplication
sur l’ordre. Applications. |
Comparer deux nombres relatifs simples en
écriture décimale ou fractionnaire.
Utiliser le fait que des nombres relatifs de
la forme a + b et a + c sont rangés dans le même ordre que b et c.
Utiliser le fait que des nombres relatifs de
la forme ab et ac sont rangés dans le même
ordre que b et c si a est strictement positif.
Ecrire des encadrements résultant de la
troncature ou de l’arrondi à un rang donné d’un nombre positif en écriture
décimale ou provenant de l’affichage d’un résultat sur une calculatrice
(quotient, racine carrée...).
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À partir d’une interprétation graphique, on
introduira le critère relatif au signe de la différence.
Aucune connaissance n’est exigible lorsque a
est négatif, mais ce cas sera évoqué pour montrer la nécessité de la
condition a > 0 dans l’énoncé de la propriété envisagée. |
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Résolution de problèmes conduisant à des
équations du premier degré à une inconnue. |
Mettre en équation et résoudre un problème
conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. |
Les problèmes issus d’autres parties du
programme conduisent à l’introduction d’équations et à leur résolution. On
dégagera chaque fois sur des problèmes particuliers les différentes étapes
du travail : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation
du résultat.
Tous les problèmes aboutissant à des
équations produits, du type (x - 2)(2x - 3)
= 0, sont hors programme. |
III - ACTIVITES GEOMETRIQUES
En classe de 4e, la représentation d'objets géométriques usuels du plan et de
l'espace, le calcul de grandeurs attachées à des objets, demeurent des objectifs
majeurs ; s’y ajoute la caractérisation de certains d’entre eux.
Dans le plan, les travaux portent sur les figures usuelles déjà étudiées
(triangle, cercle, quadrilatères particuliers), mais également sur une nouvelle
configuration illustrant une situation fondamentale de proportionnalité : celle
de triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes. À ce
nouvel outil et à ceux des classes antérieures s'ajoutent le théorème de
Pythagore et la translation. Ces enrichissements doivent favoriser le
développement des capacités de découverte et de démonstration.
Dans l'espace, les travaux sur les solides étudiés exploitent largement les
résultats de géométrie plane.
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CONTENUS |
COMPÉTENCES EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Triangles
Milieux et parallèles
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Connaître et utiliser les théorèmes suivants
relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle :
Dans un triangle, si une droite passe par
les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième.
Dans un triangle, si une droite passe par le
milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le
troisième en son milieu.
Dans un triangle la longueur du segment
joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du
troisième côté.
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La symétrie centrale et les propriétés
caractéristiques du parallélogramme permettent de démontrer ces théorèmes. |
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Triangles déterminés par deux droites
parallèles coupant deux sécantes. |
Connaître et utiliser la proportionnalité
des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux
droites parallèles coupant deux sécantes :
Dans un triangle ABC, si M est un point du
côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est parallèle à [BC], alors
AM/AB = AN/AC = MN/BC
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L’égalité des trois rapports sera admise
après d'éventuelles études dans des cas particuliers.
Elle s'étend bien sûr au cas où M et N
appartiennent respectivement aux demi-droites [AB) et [AC), mais on
n'examinera pas le cas où les demi-droites [AM) et [AB), de même que les
demi-droites [AN) et [AC), sont opposées.
Le théorème de Thalès dans toute sa
généralité ainsi que sa réciproque seront étudiés en classe de 3e.
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Droites remarquables d’un triangle. |
Construire les bissectrices, les hauteurs,
les médianes, les médiatrices d’un triangle ; en connaître une définition
et savoir qu’elles sont concourantes. |
Certaines de ces propriétés de concours
pourront être démontrées ; ce sera l’occasion de mettre en œuvre les
connaissances de la classe ou celles de 5e.
On pourra étudier la position du point de
concours de la médiane sur chacune d’elles.
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2. Triangle rectangle et cercle
Cercle circonscrit, théorème de Pythagore et
sa réciproque. |
Caractériser le triangle rectangle :
- par son inscription dans un demi-cercle,
- par la propriété de Pythagore et sa
réciproque.
Calculer la longueur d’un côté d’un triangle
rectangle à partir de celles des deux autres.
En donner, s'il y a lieu, une valeur
approchée, en faisant éventuellement usage de la touche racine d’une
calculatrice,
Caractériser les points d’un cercle de
diamètre donné par la propriété de l’angle droit.
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On poursuit le travail sur la
caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l’aide
d’énoncés séparés.
Les relations métriques dans le triangle
rectangle, autres que celles mentionnées dans les compétences exigibles,
ne sont pas au programme. |
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Tangente ; distance d'un point à une droite. |
Construire la tangente à un cercle en l'un
de ses points.
Savoir que le point d'une droite le plus
proche d'un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à
la droite. |
Le problème d'intersection d'un cercle et
d'une droite fera l'objet d'activités, sans pour autant que l'énoncé du
résultat général soit une compétence exigible. L'inégalité triangulaire et
la symétrie axiale, vues en classe de 5e, permettent de démontrer le
résultat relatif à la distance d'un point à une droite, lequel peut aussi
être relié au théorème de Pythagore.
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Cosinus d’un angle. |
Utiliser, pour un triangle rectangle, la
relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des deux côtés
adjacents. |
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