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Programme de mathématiques classe de
sixième.
Vous pouvez télécharger le nouveau programme 2005 sur :
ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edutel/bo/2004/hs4/maths_sixieme.pdf
I - INTRODUCTION
Ce programme conserve l’architecture globale, les grands équilibres et le
niveau général d’exigence du programme précédent.
Les modifications apportées visent à :
• insister sur la continuité des apprentissages (école
élémentaire-collège) ;
• expliciter plus clairement la démarche, notamment dans le domaine numérique
;
• rechercher une plus grande progressivité des exigences en géométrie dans
l’espace.
Ce programme tient compte du programme de l’école élémentaire publié au
Bulletin officiel n° 5 du 9 mars 1995 qui sera mis en œuvre en troisième année
du cycle des approfondissements à la rentrée scolaire 1997, et des informations
recueillies à l’occasion de diverses évaluations concernant les acquis
mathématiques des élèves de l’école élémentaire et de la classe de sixième.
I - OBJECTIFS GÉNÉRAUX
L’enseignement des mathématiques en classe de sixième comporte deux aspects
:
• il apprend à relier des observations du réel à
des représentations : schémas, tableaux, figures ;
• il apprend aussi à relier ces représentations
à une activité mathématique et à des concepts.
Cette démarche permet de bâtir des mathématiques à partir des problèmes
rencontrés dans plusieurs disciplines et, en retour, d’utiliser les savoirs
mathématiques dans des spécialités diverses.
Elle accorde une grande place à l’activité de construction, de réalisation
de dessins, de résolution de problèmes, d’organisation et de traitement de
données, de calculs... Cela permet aux élèves de mieux prendre en compte le
caractère “ d’outil ” des mathématiques. Elle concourt à la formation
intellectuelle de l’élève, à la formation du citoyen, et doit notamment :
• développer les capacités de raisonnement : observation, analyse, pensée
déductive ;
• stimuler l’imagination, l’intuition ;
• habituer l’élève à s’exprimer clairement, aussi bien à l’écrit qu’à
l’oral ;
• affermir les qualités d’ordre et de soin.
Ainsi, dès la sixième, l’enseignement des mathématiques développe les
capacités de travail personnel de l’élève et son aptitude à chercher, à
communiquer et à justifier ses affirmations.
Le programme établit une distinction claire entre :
• les activités de formation qui doivent être
aussi riches et diversifiées que possible ;
• les compétences exigibles.
II - ORGANISATION DE L'ENSEIGNEMENT
A - Il existe des dominantes de contenus et
d’activités qui rendent possible une bonne organisation du temps disponible et
permettent de réaliser la cohérence et la progression de l’enseignement. Il
importe, en effet, d’éviter l’émiettement et de faciliter la bonne
structuration des savoirs et des méthodes.
B - Il convient de faire fonctionner, à propos de nouvelles situations et
autrement qu’en reprise ayant un caractère de révision, les notions et “
outils ” mathématiques antérieurement étudiés. Il convient également de
préciser à chaque étape de l’apprentissage quelles connaissances sont
désormais en place. Il convient enfin de mettre en œuvre des exercices de
synthèse pour coordonner des acquisitions diverses.
C - Il est essentiel que les connaissances prennent du sens pour l’élève à
partir des questions qu’il se pose. Il est tout aussi essentiel qu’il sache
les mobiliser pour résoudre des problèmes. Ainsi, pour l’acquisition des
techniques opératoires sur les nombres décimaux, il ne suffit pas de décrire
des placements de virgule et d’adjoindre éventuellement des zéros adéquats. Il
est nécessaire d’étudier des situations qui amènent à opérer sur des nombres
décimaux. Par exemple, les mesures de longueur, intégrées à des activités
telles que la construction de courbes point par point, peuvent conduire à de
telles opérations.
D - L’activité de chaque élève doit être privilégiée, sans délaisser
l’objectif d’acquisitions communes. Dès lors, seront choisies des situations
créant un problème dont la solution fera intervenir “ outils ”, c’est-à-dire
des techniques ou des notions déjà acquises, afin d’aboutir à la découverte ou
à l’assimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci auront été bien
maîtrisées, elles fourniront à leur tour de nouveaux “ outils ”, qui
permettront un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente.
Les activités choisies doivent :
• permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne donner que
des consignes très simples et n’exiger que les connaissances solidement
acquises par tous ;
• créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures
;
• rendre possible la mise en jeu des outils prévus ;
• fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle
de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y
parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de
fructueuses comparaisons.
Elles nécessitent une synthèse, brève, qui porte non seulement sur les
quelques notions, résultats et outils de base que les élèves doivent
connaître, mais aussi sur les méthodes de résolution de problèmes qui les
mettent en jeu.
Le travail effectué permet aussi à l’élève d’acquérir et de parfaire
l’usage d’instruments de mesure et de dessin, de développer le calcul mental
et l’utilisation rationnelle des calculatrices de poche, de s’initier très
progressivement au raisonnement déductif.
Il est également important de souligner le sens, l’intérêt, la portée des
connaissances mathématiques en les enseignant en interaction avec les autres
disciplines et avec la vie quotidienne (pourcentages, échelles,
représentations graphiques...) et en utilisant les moyens modernes de
communication (informatique, banques de données, audiovisuel…).
E - Il convient d’être attentif au langage et aux significations diverses
d’un même mot. Le vocabulaire et les notations ne doivent pas être fixés
d’emblée, mais introduits au cours du traitement d’une question, en fonction
de leur utilité.
L’objectif est d’entraîner les élèves à mieux lire et mieux comprendre un
texte mathématique, et aussi à produire des textes dont la qualité est
destinée à être l’objet d’une amélioration progressive.
Un moyen efficace pour faire admettre la nécessité d’un langage précis, en
évitant que cette exigence soit ressentie comme arbitraire par les élèves, est
le passage du “ faire ” au “ faire faire ”. C’est, lorsque l’élève écrit des
instructions pour l’exécution par autrui (par exemple, décrire, pour la faire
reproduire, une figure un peu complexe) ou lorsqu’il utilise un ordinateur
pour un traitement voulu, que l’obligation de précision doit lui apparaître
comme une évidente nécessité.
F - Les travaux mathématiques sont l’occasion de familiariser les élèves
avec l’emploi d’un nombre limité de notations courantes :
• dans le domaine numérique : les symboles
d’égalité et d’inégalité (<, >), les symboles d’opérations et le symbole de
pourcentage ;
• dans le domaine géométrique : le symbole
d’appartenance Î, la longueur AB d’un segment d’extrémités A et B, l’angle ,
le segment [AB], la droite (AB), et éventuellement la demi-droite [AB).
G - Le travail personnel des élèves en classe, en étude ou à la maison, est
essentiel à leur formation. Il a des fonctions diversifiées :
• la résolution d’exercices d’entraînement,
combinée avec l’étude du cours, permet aux élèves d’affermir leurs
connaissances de base et de les mettre en œuvre sur des exemples simples ;
• les travaux individuels de rédaction sont
nécessaires au développement des capacités d’expression écrite et de la
maîtrise de la langue ;
• les devoirs de contrôle, courts et peu
nombreux, permettent de vérifier les acquis.
II - ACTIVITES NUMERIQUES
Cette partie du programme s’appuie principalement sur la résolution de
problèmes. L’activité de recherche ne fait pas l’objet d’une rubrique
particulière puisque, constamment, elle doit sous-tendre l’ensemble des travaux
numériques.
Outre leur intérêt propre, ces problèmes doivent permettre aux élèves, en
continuité avec l’école élémentaire, d’associer à une situation concrète un
travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations et des équations
figurant au programme.
Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou
approché, sous différentes formes : le calcul mental, le calcul à la main (dans
le cas de nombres courants et d’opérations techniquement simples), l’emploi
d’une calculatrice.
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CONTENU |
COMPÉTENCES
EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Nombres entiers et décimaux : écriture
et opérations
Techniques opératoires.
Procédés de calcul approché : troncature et
arrondi ; ordre de grandeur d’un résultat. |
Utiliser l’écriture décimale et en connaître
le sens. Multiplier et diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000 ou par 0,1 ;
0,01 ; 0,001.
Addition, soustraction et multiplication :
savoir effectuer ces opérations sous les trois formes de calcul (mental, à
la main, à la calculatrice), dans des situations n’exigeant pas de
virtuosité technique.
Calculer le quotient et le reste de la
division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier d’un ou deux
chiffres.
Effectuer, dans des cas simples, la division
décimale d’un nombre entier ou décimal par un nombre entier.
Prendre l’arrondi à l’unité ou la troncature.
Proposer des ordres de grandeur de deux nombres et les utiliser pour donner
un ordre de grandeur de leur somme et, éventuellement, pour contrôler un
calcul sur machine. |
On consolidera et on enrichira les acquis de
l’école élémentaire relatifs à la numération et au sens des opérations en
les mobilisant dans l’étude de situations rencontrées au collège. On tendra
ainsi à ce que la maîtrise des techniques opératoires devienne suffisante
pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes.
La multiplication des nombres décimaux est une
nouveauté de la classe de sixième, tant du point de vue du sens que de la
technique.
La multiplication des nombres décimaux est une
nouveauté de la classe de sixième, tant du point de vue du sens que de la
technique.
La division est une opération en cours
d’acquisition en début de collège. On la reliera aux problèmes d’encadrement
d’un entier (ou d’un décimal) par des multiples d’un entier et on entraînera
les élèves à donner aussi bien l’approximation entière d’un quotient par
excès que par défaut. L’objectif principal est l’acquisition du sens de
l’opération, au travers d’une pratique et de diverses utilisations.
Aucune compétence n’est exigible quant à la
technique de la division à la main de deux décimaux.
Les procédés de calcul approché trouveront un
développement naturel dans le calcul mental et dans l’usage des
calculatrices. On apprendra notamment à prévoir et à contrôler des calculs à
la machine par des calculs mentaux approchés. |
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2. Quotient de deux nombres entiers.
Écriture fractionnaire.
Extension aux nombres décimaux. |
Placer le quotient de deux entiers sur une
droite graduée dans des cas simples.
Savoir utiliser un quotient de deux entiers
dans un calcul sans effectuer la division.
Reconnaître, dans des cas simples, que deux écritures fractionnaires
différentes sont celles d’un même nombre. |
À l’école élémentaire, l’écriture
fractionnaire a été introduite à partir de situations de partage.
Les activités poursuivies en sixième
s’appuient sur deux idées :
- le quotient a/b est un nombre,
- le produit de a/b par b est égal à a
Ceci permet de considérer un nombre tel que
4/3 comme quatre fois un tiers, le tiers de quatre ou encore le nombre dont
le produit par trois est égal à quatre.
Dans des situations de proportionnalité, le
quotient de deux nombres est utilisé comme un opérateur. On visera aussi à
lui faire acquérir le statut de nombre au travers de multiples activités :
repérage (placement sur une droite graduée), mesure, calcul (possibilité
d’utiliser un quotient a/b dans un calcul, sans effectuer nécessairement la
division de a par b).
On dégagera et on utilisera le fait qu’un
quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur
par un même nombre. À l’occasion de simplifications, on pourra faire
intervenir des critères de divisibilité, sans nécessairement les justifier.
On étendra le travail fait sur des entiers à
des égalités telles que 5,24/2,1 = 524/210 , par
exemple en utilisant la calculatrice ou en ayant recours à des changements
d’unités. Cette extension permettra d’élargir la division à des cas où le
diviseur est décimal. Aucune compétence n’est exigible à ce sujet. |
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3. Nombres décimaux en écritures décimales et
fractionnaires. |
Pour les nombres décimaux courants, passer
d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire et vice-versa.
Ranger des nombres donnés en écriture
décimale.
Sur une droite graduée :
- lire l’abscisse d’un point ou en donner un
encadrement,
- situer un point d’abscisse donnée. |
Il s’agit de pouvoir utiliser différentes
écritures fractionnaires d’un même nombre décimal.
Les écritures fractionnaires et décimales
pourront être utilisées comme des moyens de contrôle mutuel des opérations
sur des nombres décimaux. C’est dans ce seul cas que seront rencontrées les
opérations (+, -, ´) en écriture fractionnaire telles que :
32/10 + 7/100 = 327/100 . |
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4. Initiation à la résolution d’équations. |
Trouver, dans des situations numériques
simples :
- le nombre à ajouter à un nombre donné pour
obtenir un résultat donné,
- le nombre à retrancher d’un nombre donné
pour obtenir un résultat donné,
- le nombre par lequel multiplier un nombre
donné pour obtenir un résultat donné. |
Certains problèmes concrets se traduisent par
la recherche d’un nombre manquant dans une opération. Il s’agit là d’une
résolution d’équation, mais la désignation de l’inconnue par une lettre
n’est pas nécessaire dans ces activités.
Dans le cas de la division, la recherche est
menée en classe, mais ne correspond pas à une compétence exigible à ce
niveau scolaire. |
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5. Initiation aux écritures littérales. |
Appliquer une formule littérale dans une
situation familière à l’élève.
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On entraînera l’élève à schématiser un calcul
en utilisant des lettres qui, à chaque usage, seront remplacées par des
valeurs numériques. |
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6. Nombres relatifs et repérage. |
Graduer régulièrement une droite.
Sur une droite graduée, les valeurs en jeu
étant des entiers relatifs : lire l’abscisse d’un point donné, placer un
point d’abscisse donnée.
Dans le plan repéré, les valeurs en jeu étant des entiers relatifs : lire
les coordonnées d’un point donné, placer un point de coordonnées données. |
Les travaux proposeront des exemples variés de
situations nécessitant l’introduction de “ nouveaux nombres ”. Dans certains
de ces exemples faisant intervenir des températures, des durées,... on
pourra être conduit à opérer sur ces nombres, mais les règles d’addition ne
sont pas au programme.
Sur la droite et dans le plan, le cas de
points dont les coordonnées ne sont pas des entiers relatifs doit être
envisagé en classe, mais ne donne pas lieu à une compétence exigible. |
III - ACTIVITES GEOMETRIQUES
De l’école élémentaire, les élèves apportent une expérience des figures les
plus usuelles. L’objectif fondamental, en sixième, est encore la description et
le tracé de figures simples. Au terme d’un processus progressif, le champ des
figures étudiées est enrichi, le vocabulaire est précisé et les connaissances
sont réorganisées à l’aide de nouveaux outils, notamment la symétrie orthogonale
par rapport à une droite (symétrie axiale).
Les travaux géométriques prennent appui sur l’usage des instruments de dessin
et de mesure, y compris dans un environnement informatique. Ils sont conduits en
liaison étroite avec l’étude des autres rubriques. Ils constituent en
particulier le support d’activités numériques conjointes (grandeurs et mesures)
ou de notions en cours d’acquisition (repérage, proportionnalité).
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CONTENU |
COMPÉTENCES EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Reproduction de figures planes simples. |
Sur papier blanc et sans que la méthode soit
imposée :
- reporter une longueur ;
- reproduire un angle, un arc de cercle de
centre donné ;
- tracer, par un point donné, la
perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.
Utiliser correctement, dans une situation
donnée, le vocabulaire suivant :
droite, cercle, centre, rayon, diamètre,
angle, droites perpendiculaires, droites parallèles, demi-droite, segment,
milieu.
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En complément aux instruments classiques de
dessin, il est conseillé d’utiliser aussi du papier calque, du papier
quadrillé ou pointé.
Il s’agit de développer les connaissances
acquises à l’école élémentaire en vue de :
- compléter et consolider l’usage
d’instruments de mesure ou de dessin (règle graduée ou non, compas,
équerre). Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu’il convient
d’introduire à l’occasion de la construction et de l’étude des figures ;
- tirer parti des travaux pour préciser le
vocabulaire, en particulier celui concernant les figures planes. |
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Tracer et reproduire sur papier blanc les
figures suivantes : triangle, triangle isocèle, triangle équilatéral,
triangle rectangle, rectangle, losange, carré, cercle.
Reconnaître ces figures dans un environnement
plus complexe. |
Les travaux de reproduction et de construction
pourront consister en :
- la copie conforme d’un modèle concret ou
d’un dessin
- un dessin à partir de données graphiques et
numériques ;
- un dessin à partir d’un énoncé décrivant la
figure.
Les travaux de construction conduiront à
l’utilisation progressive et prudente de lettres pour désigner les points
d’une figure. Cette utilisation est nouvelle et son apprentissage se fera à
l’occasion d’activités de communication telles que figures “ téléphonées ”
ou énoncés rédigés par des élèves.
Les travaux de construction d’une figure, à
l’aide d’instruments ou dans un environnement informatique, s’appuieront sur
sa définition ou certaines de ses propriétés.
Les travaux géométriques permettront aussi la
mise en place de courtes séquences déductives s’appuyant, par exemple, sur
la définition du cercle et les propriétés d’orthogonalité et de
parallélisme. On prendra garde, à ce sujet, de ne pas demander aux élèves de
prouver des propriétés perçues comme évidentes.
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2. Surfaces planes : mesure, comparaison et
calcul d’aires et de périmètres. |
Déterminer l’aire d’une surface à partir d’un
pavage simple.
Comparer des périmètres, comparer des aires.
Calculer l’aire et le périmètre d’un
rectangle.
Évaluer, à partir du rectangle, l’aire d’un
triangle rectangle.
Calculer la longueur d’un cercle.
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On pourra faire déterminer des aires à l’aide,
soit de reports, de décompositions , de
découpages et de recollements, soit de quadrillage et d’encadrements.
Ces travaux permettront de retenir sous forme
d’images mentales, le passage du rectangle au triangle rectangle ou au
parallélogramme, et de mettre en place des calculs sur les aires à partir de
l’aire du rectangle.
On pourra s’appuyer sur ces travaux qui
donnent du sens à la notion d’aire pour constituer et utiliser un
formulaire. Cette utilisation pourra être liée aux unités usuelles et aux
changements d’unités. |
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3. Parallélépipède rectangle : description,
représentation en perspective, patrons… |
Fabriquer un parallélépipède rectangle de
dimensions données. |
L’objectif est d’entretenir et d’approfondir
les acquis de l’école élémentaire : représenter, décrire et construire des
solides de l’espace. L’usage d’une perspective cavalière et la fabrication
d’un patron sont complémentaires. Mais ces travaux s’appuient sur l’étude de
vrais objets éventuellement réalisés en technologie. Passer de l’objet à ses
représentations et inversement constitue l’essentiel du travail dans
l’espace à ce niveau.
Les travaux porteront sur les éléments plans
des objets de l’espace et le vocabulaire correspondant sera utilisé à cette
occasion : faces, arêtes et sommets.
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