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Programme de mathématiques classe de
troisième :I -
INTRODUCTION
Les objectifs généraux de l'enseignement des mathématiques décrits pour les
classes antérieures demeurent tout naturellement valables pour la classe de 3e :
apprendre à relier des observations à des représentations, à relier ces
représentations à une activité mathématique et à des concepts.
À la fin de cette classe terminale du collège, les élèves ont :
• acquis des savoirs en calcul numérique (nombres
décimaux et fractionnaires, relatifs ou non, outil proportionnel) et en calcul
littéral ;
• acquis des éléments de base en statistiques, en
vue d'une première maîtrise des informations chiffrées ;
• appris à reconnaître, dans leur environnement, des configurations du plan
et de l’espace et des transformations géométriques usuelles.
Ils disposent aussi de connaissances et d'outils sur lesquels se construira
l'enseignement au lycée.
Comme dans les classes antérieures, la démarche suivie dans l'enseignement
des mathématiques renforce la formation intellectuelle des élèves, et concourt à
celle du citoyen, en développant leur aptitude à chercher, leur capacité à
critiquer, justifier ou infirmer une affirmation, et en les habituant à
s'exprimer clairement aussi bien à l'oral qu'à l'écrit.
On poursuivra les études expérimentales (calculs numériques avec ou sans
calculatrice, représentations à l'aide ou non d'instruments de dessin et de
logiciels) en vue d'émettre des conjectures et de donner du sens aux définitions
et aux théorèmes. On veillera, comme par le passé, à ce que les élèves ne
confondent pas conjecture et théorème ; ils seront le plus souvent possible, en
classe et en dehors de la classe, mis en situation d'élaborer et de rédiger des
démonstrations. On privilégiera l’activité de l’élève, sans négliger les temps
de synthèse qui rythment les acquisitions communes.
L'ensemble des activités proposées dans cette classe permet de faire
fonctionner les acquis antérieurs et de les enrichir. Les activités de
formation, qui ne peuvent se réduire à la mise en œuvre des compétences
exigibles, seront aussi riches et diversifiées que possible.
Le programme de la classe de troisième a pour objectif de permettre :
en géométrie :
• de compléter d’une part, la connaissance de propriétés et de relations
métriques dans le plan et dans l'espace, d’autre part, l'approche des
transformations par celle de la rotation,
• de préparer l'outil calcul vectoriel, qui sera
exploité au lycée ;
dans le domaine numérique :
• d’assurer la maîtrise des calculs sur les
nombres rationnels,
• d’amorcer les calculs sur les radicaux,
• de faire une première synthèse sur les nombres
avec un éclairage historique et une mise en valeur de processus algorithmiques,
• de compléter les bases du calcul littéral et
d’approcher le concept de fonction ;
dans la partie " organisation et gestion de
données " :
• de poursuivre l'étude des paramètres de position
d'une série statistique,
• d’aborder l'étude de paramètres de dispersion en
vue d'initier les élèves à la lecture critique d'informations chiffrées.
La rédaction de ce programme tend à :
• souligner la continuité et la cohérence des apprentissages, débutés en 6e,
• dégager clairement les points forts.
Il est tenu compte, dans la rédaction de ce programme, des rééquilibrages
intervenus au cycle central et des informations recueillies lors de diverses
évaluations des acquis mathématiques des élèves de 3e.
Le vocabulaire et les notations nouvelles (sin, tan, ® , et ) seront introduits,
comme dans les classes antérieures, au fur et à mesure de leur utilité ; la
notation f(x) sera introduite avec prudence, en distinguant bien le rôle joué
ici par les parenthèses, de celui qu’elles ont ordinairement dans le calcul
littéral. Les symboles , £ , ³ , » ont été introduits
au cycle central ; leur signification sera confirmée.
Le travail personnel des élèves, en classe et en dehors de la classe, est
essentiel à leur formation, comme dans les classes antérieures. Les devoirs de
contrôle sont d'abord destinés à vérifier l'acquisition des compétences
exigibles. Les autres travaux peuvent avoir des objectifs beaucoup plus larges
et revêtir des formes diverses, permettant éventuellement la prise en compte de
la diversité des projets des élèves. La régularité d'un travail extérieur à la
classe est importante pour les apprentissages. En particulier, les travaux
individuels de rédaction concourent efficacement à la mémorisation des savoirs
et savoir-faire, au développement des capacités de raisonnement et à la maîtrise
de la langue ; la correction individuelle du travail d'un élève est une façon de
reconnaître la qualité de celui-ci et de permettre à son auteur de l'améliorer,
donc de progresser.
II - ACTIVITES NUMERIQUES
Comme dans les classes antérieures, la résolution de problèmes (issus de la
géométrie, de la gestion de données, des autres disciplines, de la vie courante)
constitue un objectif de cette partie du programme; elle nourrit les activités,
tant dans le domaine numérique que dans le domaine littéral. S'y ajoutent
certains problèmes numériques purs, qui jouent un rôle dans l'appropriation de
concepts importants, tels que ceux de racine carrée ou de fraction irréductible.
Ce sont ces études qu'il convient de privilégier et non pas la technicité.
La pratique du calcul exact ou approché sous différentes formes
complémentaires (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un
ordinateur) a les mêmes objectifs que dans les classes antérieures :
• maîtrise des règles opératoires de base,
• acquisition de savoir-faire dans la comparaison
des nombres,
• réflexion et initiative dans le choix de
l'écriture appropriée d'un nombre selon la situation.
Pour le calcul littéral, un des objectifs à viser est qu'il intègre aux
moyens d'expression des élèves, à côté de la langue usuelle, de l'emploi des
nombres ou des représentations graphiques. C'est en développant notamment des
activités où le calcul littéral reste simple à effectuer et où il présente du
sens, que le professeur permettra au plus grand nombre de recourir spontanément
à l'écriture algébrique lorsque celle-ci est pertinente.
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CONTENUS |
COMPÉTENCES EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Écritures littérales ; identités
remarquables |
Factoriser des expressions telles que :
(x + 1)(x + 2)
-
5 (x + 2) ; (2x + 1)2 + (2x + 1)(x
+ 3).
Connaître les égalités : (a + b)(a
-
b) = a2
-
b2 ;
(a + b)2 = a2
+ 2ab + b2 ; (a
-
b)2 = a2
-2ab
+ b2
et les utiliser sur des expressions
numériques ou littérales simples telles que : 1012 = (100 + 1)2
= 1002 + 200 + 1 ;
(x + 5)2
-
4 = (x + 5)2
-
22 = (x + 5 + 2)(x + 5
-
2) |
La reconnaissance de la forme d'une
expression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut
représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travaux
s'articuleront sur deux axes :
- utilisation d'expressions littérales pour
des calculs numériques ;
- utilisation du calcul littéral dans la
mise en équation et la résolution de problèmes.
Les activités viseront à assurer la maîtrise
du développement d'expressions simples; en revanche, le travail sur la
factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l'autonomie
des élèves que dans des situations très simples.
On consolidera les compétences en matière de
calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 10.
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2. Calculs élémentaires sur les radicaux
(racines carrées)
Racine carrée d'un nombre positif |
Savoir que, si a désigne un nombre positif, est
le nombre positif dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a est un
nombre positif, utiliser les égalités :
Déterminer, sur des exemples numériques, les
nombres x tels que x2 = a, où a désigne un nombre
positif.
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La touche de
la calculatrice, qui a déjà été utilisée en classe de 4e, fournit une
valeur approchée d'une racine carrée.
Le travail mentionné sur les identités
remarquables permet d'écrire des égalités comme :
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Produit et quotient de deux radicaux |
Sur des exemples numériques, où a et b sont
deux nombres positifs, utiliser les égalités :
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Ces résultats, que l'on peut facilement
démontrer à partir de la définition de la racine carrée d'un nombre
positif, permettent d'écrire des égalités telles que :
On habituera ainsi les élèves à écrire un
nombre sous la forme la mieux adaptée au problème posé.
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3. Équations et inéquations du premier degré
Ordre et multiplication |
Utiliser le fait que des nombres relatifs de
la forme ab et ac sont dans le
même ordre que b et c si a est strictement positif,
dans l'ordre inverse si a est strictement négatif.
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On pourra s'appuyer dans toute cette partie
sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment
celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres.
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Inéquation du premier degré à une inconnue |
Résoudre une inéquation du premier degré à
une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses solutions sur une
droite graduée.
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Système de deux équations à deux inconnues |
Résoudre algébriquement un système de deux
équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une
seule ; en donner une interprétation graphique.
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Pour l'interprétation graphique, on
utilisera la représentation des fonctions affines. |
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Résolution de problèmes du premier degré ou
s'y ramenant |
Résoudre une équation mise sous la forme
A . B = 0, où A et B désignent deux expressions
du premier degré de la même variable.
Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une
inéquation ou un système de deux équations du premier degré
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L'étude du signe d'un produit ou d'un
quotient de deux expressions du premier ordre de la même variable est,
elle, hors programme.
Les problèmes sont issus des différentes
parties du programme. comme en classe de 4e, on dégagera à chaque fois les
différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l'équation
et interprétation du résultat.
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4. Nombres entiers et rationnels
Diviseurs communs à deux entiers
Fractions irréductibles |
Déterminer si deux entiers donnés sont
premiers entre eux.
Savoir qu'une fraction est dite irréductible
si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Simplifier une fraction donnée pour la
rendre irréductible. |
Cette partie d'arithmétique permet une
première synthèse sur les nombres, intéressantes tant du point de vue de
l'histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.
Depuis la classe de 5e, les élèves ont pris
l'habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation
du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de
divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la
fraction obtenue est irréductible ou non. On remarque que la somme et la
différence de deux multiples d'un nombre entier sont eux-mêmes multiples
de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d'Euclide ou un
autre, qui, donnant le PGCD de deux nombres entiers, permet de répondre à
la question dans tous les cas. Les activités proposées ne nécessitent donc
pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et les logiciels de
calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit.
À côté des nombres rationnels, on rencontre
au collège des nombres irrationnels comme
p
et .
On pourra éventuellement démontrer l'irrationalité de
.
Une telle étude peut également être mise à profit pour bien distinguer le
calcul exact et le calcul approché. |
III - ACTIVITES GEOMETRIQUES
Les objectifs des travaux géométriques demeurent ceux des classes antérieures
du collège : représentation d'objets usuels du plan et de l'espace ainsi que
leur caractérisation, calcul de grandeur attachées à ces objets, poursuite du
développement des capacités de découverte et de démonstration, mises en œuvre en
particulier dans des situations non calculatoires. Les configurations usuelles
déjà étudiées sont complétées par les polygones réguliers pour le plan, et par
la sphère pour l'espace; de même les transformations du plan sont complétées par
la rotation. Les travaux sur les configurations et les solides permettent de
mobiliser largement les résultats des classes antérieures; ceux-ci sont enrichis
en particulier de la réciproque du théorème de Thalès et de l'étude de l'angle
inscrit. On favorise ainsi le développement des capacités d'initiative des
élèves sans exigence prématurée d'autonomie lors des évaluations. L'introduction
de la notation vectorielle et de l'addition des vecteurs, qui constitue une
initiation au calcul vectoriel, est l'un des aboutissements du travail effectué
au cycle central sur le parallélogramme et la translation.
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CONTENUS |
COMPÉTENCES EXIGIBLES |
COMMENTAIRES |
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1. Géométrie dans l'espace
Sphère |
Savoir que la section d'une sphère par un
plan est un cercle.
Savoir placer le centre de ce cercle et
calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du
plan au centre de la sphère.
Représenter une sphère et certains de ses
grands cercles.
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On mettra en évidence les grands cercles de
la sphère, les couples de points diamétralement opposés. On examinera le
cas particulier où le plan est tangent à la sphère.
On fera le rapprochement avec les
connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment
pour les questions relatives aux méridiens et parallèles.
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Problèmes de sections planes de solides |
Connaître la nature des sections du cube, du
parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête.
Connaître la nature des sections du cylindre
de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.
Représenter et déterminer les sections d'un
cône de révolution et d'une pyramide par un plan parallèle à la base.
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Des manipulations préalables (sections de
solides en polystyrène par exemple) permettent de conjecturer ou
d'illustrer la nature des sections planes étudiées.
Ce sera une occasion de faire des calculs de
longueur et d'utiliser les propriétés rencontrées dans d'autres rubriques
ou les années antérieures.
À propos de pyramides, les activités se
limiteront à celles dont la hauteur est une arête latérale et aux
pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par
ailleurs.
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2. Triangle rectangle :
Relations trigonométriques,
distance de deux points dans un repère orthonormé du plan. |
Connaître et utiliser dans le triangle
rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d'un
angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle.
Utiliser la calculatrice pour déterminer des
valeurs approchées :
- du sinus, du cosinus et de la tangente
d'un angle aigu donné,
- de l'angle aigu dont on connaît le sinus,
le cosinus ou la tangente.
Le plan étant muni d'un repère orthonormé,
calculer la distance de deux points dont on donne les coordonnées.
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La définition du cosinus a été vue en 4e. Le
sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de
longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique. On établira les
formules : cos2 x + sin2 x = 1 et tan
x = sin x / cos x.
On n'utilisera pas d'autre unité que le
degré décimal.
Le calcul de la distance de deux points se
fera en référence au théorème de Pythagore, de façon à visualiser ce que
représentent différence des abscisses et différence des ordonnées.
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3. Propriété de Thalès |
Connaître et utiliser dans une situation
donnée les deux théorèmes suivants :
- Soient d et d' deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de d, distincts de A. Soient C et N deux points
de d', distincts de A. Si les droites (BC) et (CN) sont parallèles, alors
:
AM/AB = AN/AC= MN/BC.
- Soient d et d' deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de d, distincts de A. Soient C et N deux points
de d', distincts de A. Si AM/AB = AN/AC et si les points A, B, M et les
points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN)
sont parallèles.
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Il s'agit d'un prolongement de l'étude faite
en classe de 4e.
L'étude de la propriété de Thalès est
l'occasion de traiter des situations de proportionnalité dans le cadre
géométrique du plan et de l'espace. La réciproque est formulée en tenant
compte de l'ordre relatif des points sur chaque droite.
L'utilisation d'un logiciel de construction
géométrique peut permettre de créer des situations reliées au théorème de
Thalès, notamment lors des activités d'approche de la propriété par la
mise en évidence de la conservation des rapports.
Le travail de construction de points définis
par des rapports de longueurs permet de mettre en évidence l'importance de
la position relative de ces points sur la droite. On s'intéressera
particulièrement au problème suivant : étant donné deux points A et B,
construire les points C de la droite (AB) sachant que le rapport CA/CB a
une valeur donnée sous forme de quotient d'entiers.
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4. Vecteurs et translations
Égalité vectorielle |
Connaître et utiliser l'écriture vectorielle
pour exprimer que la translation qui transforme A en B transforme aussi C
en D. |
Cette rubrique prend en compte les acquis du
cycle central sur les parallélogrammes et sur la translation. Elle est
orientée vers la reconnaissance, dans les couples (A, A'), (B, B'),
(C, C')… de points homologues par une même translation, d'un même objet
nommé vecteur.
On écrira
L'un des objectifs est que les élèves se
représentent un vecteur à partir d'une direction, d'un sens et d'une
longueur.
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Lier cette écriture vectorielle au
parallélogramme ABCD éventuellement aplati. |
On mettra en évidence la caractérisation
d'une égalité vectorielle à l'aide de
milieux de [AD] et [BC] :
Si alors les segments [AD]
et [BC] ont le même milieu.
Si les segments [AD] et [BC] ont le même
milieu, alors on a
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Composition de deux translations; somme de
deux vecteurs. |
Utiliser l'égalité
et la relier à la composée de deux translations.
Construire un représentant du vecteur somme
à l'aide d'un parallélogramme. |
Des activités de construction conduiront à
l'idée que la composée de deux translations est une translation.
À partir de ce résultat, à établir ou
admettre, on définira la somme de deux vecteurs.
On introduira le vecteur nul
ainsi que l'opposé d'un vecteur.
Aucune compétence n'est exigible des élèves sur l'égalité vectorielle ni,
plus généralement, sur la soustraction vectorielle.
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Coordonnées d'un vecteur dans le plan muni
d'un repère. |
Lire sur un graphique les coordonnées d'un
vecteur.
Représenter, dans le plan muni d'un repère, un vecteur dont on donne les
coordonnées.
Calculer les coordonnées d'un vecteur
connaissant les coordonnées des extrémités de l'un quelconque de ses
représentants.
Calculer les coordonnées du milieu d'un
segment.
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Les coordonnées d'un vecteur seront
introduites à partir de la composition de deux translations selon les
axes. |
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Composition de deux symétries centrales. |
Savoir que l'image d'une figure par deux
symétries centrales successives de centres différents est aussi l'image de
cette figure par une translation.
Connaître le vecteur de la translation
composée de deux symétries centrales. |
Des activités de construction permettront de
conjecturer le résultat de composition de deux symétries centrales. La
démonstration sera l'occasion de revoir la configuration des milieux dans
un triangle.
On pourra utiliser, pour sa commodité, la
notation
Tout commentaire sur le produit d'un vecteur
par un entier est hors programme, ainsi que la notation "o" pour désigner
la composée.
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5. Rotation, angles, polygones réguliers
Images de figures par une
rotation |
Construire l'image par une rotation donnée
d'un point, d'un cercle, d'une droite, d'un segment et d'une demi-droite.
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Les activités porteront d'abord sur un
travail expérimental permettant d'obtenir un inventaire abondant de
figures à partir desquelles seront dégagées des propriétés d'une rotation
(conservation des longueurs, des alignements, des angles, des aires). Ces
propriétés pourront être utilisées dans la résolution d'exercices simples
de construction. Dans des pavages on rencontrera des figures invariantes
par rotation.
Les configurations rencontrées permettent
d'utiliser les connaissances sur les cercles, les tangentes, le calcul
trigonométrique...
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Polygones réguliers |
Construire un triangle équilatéral, un
carré, un hexagone régulier connaissant son centre et un sommet. |
Les activités sur les polygones réguliers,
notamment leur tracé à partir d'un côté, porteront sur le triangle
équilatéral, le carré, l'hexagone et éventuellement l'octogone. Certaines
d'entre elles pourront conduire à utiliser la propriété de l'angle
inscrit.
Les activités de recherche de
transformations laissant invariant un triangle équilatéral ou un carré
sont l'occasion de revenir sur les transformations étudiées au collège.
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Angle inscrit |
Comparer un angle inscrit et l'angle au
centre qui intercepte le même arc. |
On généralise le résultat relatif à l'angle
droit, établi en classe de quatrième. Cette comparaison permet celle de
deux angles inscrits interceptant le même arc, mais la recherche de
l'ensemble des points du plan d'où l'on voit un segment sous un angle
donné, autre qu'un angle droit, est hors programme. |
IV - GESTION DE DONNES - FONCTIONS
L'un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des exemples
très simples, la notion, de fonction en tant que processus faisant correspondre
un nombre à un autre nombre. Les exemples mettant en jeu des fonctions peuvent
être issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires.
L'utilisation des expressions " est fonction de " ou " varie en fonction de ",
déjà amorcée dans les classes précédentes, est poursuivie et sera associée à
l'introduction prudente de la notation f(x), où x à une valeur numérique donnée.
L'équation générale d'une droite sous la forme ax +
by + c = 0 n'est pas au programme du collège.
Pour les séries statistiques, le programme consiste à poursuivre l'étude des
paramètres de position et à aborder l'étude de la dispersion. L'éducation
mathématique rejoint ici l'éducation du citoyen : prendre l'habitude de
s'interroger sur la signification des nombres utilisés, sur l'information
apportée par un résumé statistique et donc sur la perte d'information, sur les
possibilités de généralisation, sur les risques d'erreurs d'interprétation et
sur les conséquences possibles.
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